Question

已知函數f（x）=tgx，x∈（0，）．若x₁，x₂∈（0，），且x₁≠x₂，
證明[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）

Answer 1

【答案】分析：欲證不等式的左邊是（tgx₁+tgx₂），將正切化成正余弦，通分后利用三角函數的和角公式和積化和差公式，結合三角函數的有界性進行放縮，最后利用半角公式即可證得．
解答：證明：tgx₁+tgx₂==
==
∵x₁，x₂∈（0，），x₁≠x₂，
∴2sin（x₁+x₂）＞0，cosx₁cosx₂＞0，且0＜cos（x₁-x₂）＜1，
從而有0＜cos（x₁+x₂）+cos（x₁-x₂）＜1+cos（x₁+x₂），
由此得tgx₁+tgx₂＞=，∴（tgx₁+tgx₂）＞tg，
即[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）．
點評：本小題考查三角函數基礎知識、三角函數性質及推理能力．