Question

已知函數(shù)f（x）=t（

1

x

-1）+lnx，t為常數(shù)，且t＞0．
（1）若曲線y=f（x）上一點(diǎn)（

1

2

，y0）處的切線方程為2x+y-2+ln2，求t和y₀的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)條件列方程組

y0+2× 1 2 +ln2-2=0 f′( 1 2 )=-2

并解方程組即可求出結(jié)果；
（2）由f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)?f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，然后分離參數(shù)t≤x恒成立，進(jìn)而根據(jù)x≥1，求出t的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=t（

1

x

-1）+lnx
∴f'（x）=

x-t

x2

由題意知

y0+2× 1 2 +ln2-2=0 f′( 1 2 )=-2

解得：

t=1 y0=1-ln2

（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)
則f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，即t≤x恒成立
∵x≥1
∴t≤1
又∵t＞0
∴0＜t≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求切線方程，（2）問中將問題轉(zhuǎn)化成f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．