Question

設△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a=3，b=5，c=

14

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）求

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據余弦定理，利用三邊的長求得cosC的值．
（Ⅱ）先利用同角三角函數的基本關系求得sinC的值，然后利用兩角和公式對原式整理后，把sinC和cosC的值代入即可求得答案．

解答：（Ⅰ）解：由余弦定理cosC=

a2b2-c2

2ab

，
得cosC=

9+25-14

2×3×5

=

2

3

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cosC＞0，
所以角c為銳角，所以sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
則

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

 =

5 -6(sinc×cos π 3 +cosc×sin π 3 )

2cos2C-1

5 -6( 5 3 × 1 2 + 2 3 × 3 2 )

2× 4 9 -1

=18

3

．
所以

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

=18

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用和兩角和公式的化簡求值．注意對余弦定理及其變形公式的靈活運用．