Question

（本題滿分15分）

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為

圓心，MF為半徑作圓M.問點M橫坐標滿足什么條

件時，圓M與y軸有兩個交點？

（3）設圓M與y軸交于D、E兩點，

求點D、E距離的最大值.

Answer 1

解：(1)∵橢圓+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，)，

∴，即 ，解得 ，………………3分

∴橢圓C的方程為+=1。………………5分

(2)易求得F(1，0)。設M(x₀，y₀)，則+=1， 圓M的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，

令x=0，化簡得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。

將y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜故-2≤x₀＜……9分

(3)設D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得

DE= y₂- y₁===，

當x₀=-時，DE的最大值為�！�……………15分