Question

【題目】若函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若在上存在兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出導函數，函數的定義域，通過①當a≤0時，②當a＞0時，分別求解函數的單調區間即可；

（Ⅱ）通過a≤0時，當a＞0時，利用函數的單調性結合函數的零點，列出不等式即可求解a的取值范圍．

解：（Ⅰ）函數的定義域為，

，

當時，，在單調遞減．

當時，令，，其中舍去

則

當時，，則在上單調遞減，

當時，，則在上單調遞增．

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上所述，當時，在單調遞減，

當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當時，在單調遞減，不合題意，舍去．

當時，

由于在上有兩個零點，

又因為，所以是的一個零點．

因此問題等價于：在存在一個零點，

又由（Ⅰ）得，當時，存在一個極值點，

故，即．

因此問題等價于：

．

因為

，

令，

在恒成立，所以在單調遞減，

，

所以成立，

所以存在，．

取，

，

，

所以在存在一個零點．

綜上所述，．

另解：當趨近于時，趨近于正無窮大，則．