Question

（2013•嘉興一模）已知橢圓C₁：

x2

16

+

y2

15

=1的左焦點為F，點P為橢圓上一動點，過點以F為圓心，1為半徑的圓作切線PM，PN，其中切點為M，N則四邊形PMFN面積的最大值 為

2

6

．

Answer 1

分析：連接PF，根據圓的切線的性質得S_△AFM=

1

2

|PM|•|MF|=

1

2

|PM|，從而四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|．根據勾股定理，得|PM|=

|PF|2-1

，因此當|PF|最長時|PM|達到最大值．再根據橢圓的幾何性質，得P與橢圓右頂點重合時，|PF|最長，由此可得|PM|最大值為2

6

，即得四邊形PMFN面積的最大值．

解答：解：連接PF，
∵PM與圓F相切，∴PM⊥MF，可得S_△AFM=

1

2

|PM|•|MF|=

1

2

|PM|
根據對稱性可得四邊形PMFN面積S=2S_△AFM=|PM|
Rt△PMF中，|PM|=

|PF|2-|MF|2

=

|PF|2-1

因此，當|PF|最長時，|PM|達到最大值，
同時四邊形PMFN面積S達最大值．
由橢圓的幾何性質，得
當P與橢圓

x2

16

+

y2

15

=1右頂點（4，0）重合時，|PF|最長．
∵左焦點F坐標為（-1，0），
∴|PF|最大值為|4-（-1）|=5，可得|PM|最大值為

52-1

=2

6

可得四邊形PMFN面積S的最大值為2

6

故答案為：2

6

點評：本題給出橢圓內有一個內含于橢圓的小圓，求橢圓上一點P切圓的兩條切線和過切點兩條半徑構成的四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的幾何性質、勾股定理和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．