Question

有一塊邊長為4米的正方形鋼板，現對其進行切割，焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計），有人用數學知識作了如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成長方體。

（Ⅰ）求這種切割、焊接而成的長方體的最大容積.

（Ⅱ）請問：能重新設計，使所得長方體的容器的容積嗎？若能、給出你的一種設計方案。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(m³)；（Ⅱ）能（參考解析）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題意可得假設每個小正方形的邊長為x.則通過折疊可得一個無蓋的正方體.所以可以求出正方體的體積的表達.通過求導可求得體積的最大值.

（Ⅱ）本小題的設計較困難.通過對比和體積公式的應用可以假設出較多的方案.本小題的設計方案具有一定的技巧性.

試題解析：（1）設切去的小正方形邊長為x.則.所以.所以當時. .當時. .所以當時. (m³).

(2)能.如圖所示.先在在正方形一邊的兩個角出各切下一個邊長為1米的小正方形.再將這兩個小正方形焊接在另一邊的中間.然后焊接成長方形容器.此時. .

考點：1.正方體的體積的求法.2.導數求最值.3.創新思維的構造.