Question

在福建省第14屆運動會（2010•莆田）開幕式上，主會場中央有一塊邊長為a米的正方形地面全彩LED顯示屏如圖所示，點E、F分雖為BC、CD邊上異于點C的動點，現在頂點A處有視角∠EAF設置為45°的攝像機，正錄制形如△ECF的移動區域內表演的某個文藝節目，設DF=x米，BE=y米．
（Ⅰ）試將y表示為x的函數；
（Ⅱ）求證：△ECF周長p為定值；
（Ⅲ）求△ECF面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用∠EAF=45°及和角三角函數可構建x，y之間的關系，從而得出x，y之間的函數關系式；
（Ⅱ）關鍵是表達出△ECF的周長，結合（Ⅰ）將y=

a(a-x)

a+x

代入化簡可證；
（Ⅲ）首先可以得到S=xy，因此要求面積的最大值，關鍵是求xy的最大值，利用（Ⅰ），結合基本不等式可以求出面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為∠EAF=45°，DF=x米，BE=y米，
所以tan(∠BAE+∠DAF)=

y a + x a

1- xy a2

=1，
所以a（x+y）=a²-xy，所以y=

a(a-x)

a+x

(0＜x＜a)；
（Ⅱ）△ECF的周長p=(a-y)+(a-x)+

(a-y)2+(a-x)2

=2a，
所以△ECF的周長p為定值；
（Ⅲ）S=

1

2

(a-x)(a-y)=xy，
由（Ⅰ）知a（x+y）=a²-xy，得a2-xy≥2a

xy

，解得

xy

≤(

2

-1)a，
當且僅當x=y=(

2

-1)a時，

xy

取到最大值(

2

-1)a，所以Smax=(3-2

2

)a2，
所以△ECF面積S的最大值為(3-2

2

)a2平方米．

點評：本題主要考查函數、不等式等基礎知識；考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力；考查應用意識．