Question

如圖，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，PD=m，記二面角D-PB-C的大小為θ，若θ＜60°，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，可得A、B、C、P各點的坐標，得到向量

AC

、

BC

、

PC

的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法解出

n

=(0，m，2)是平面PBC的一個法向量．由空間向量的夾角公式算出|cosθ|=|cos＜

AC

，

n

＞|=

m

2 • m2+4

，結合θ＜60°得

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解之即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC
∴DA、DC、DP兩兩互相垂直，
以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，m）

AC

=(-2，2，0)是平面PBD的一個法向量

BC

=(-2，0，0)，

PC

=(0，2，-m)
設平面PBC的法向量為

n

=(a，b，c)，可得

n • BC =-2a=0 n • PC =2b-mc=0

，解之得a=0，取c=2得b=

mc

2

=m
∴

n

=(0，m，2)，是平面PBC的一個法向量
二面角D-PB-C的大小為θ，則
|cosθ|=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

AC • n

|AC| • |n|

|=

|-2•0+2m+0•2|

2 2 • m2+4

=

m

2 • m2+4

∵θ＜60°，
∴|cosθ|=cosθ＞

1

2

，得

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解之得m＞2，即m的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題在特殊四棱錐中給出二面角的大小小于60度，求參數m的取值范圍．著重考查了線面垂直的判定與性質、利用空間坐標系研究二面角的平面角等知識，屬于中檔題．