Question

如圖，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=1，SB=

3

．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中SD垂直于正方形ABCD所在的平面，我們可得BC⊥CD，進而由面面垂直的性質得到BC⊥平面SDC，再由線面垂直的性質可得BC⊥SC；
（2）取SB，CD，BC的中點分別為P，Q，R，連接MP，PQ，QR，PR，由三角形中位線定理可得DM∥PQ，PR∥SC，我們可得∠RPQ為異面直線DM，SC所成角或其補角，解三角形RPQ即可得到答案．

解答：（1）證明：

SD⊥平面ABCD SD?平面SDC

⇒

平面ABCD⊥平面SDC BC⊥CD

⇒BC⊥平面SDC
所以，BC⊥SC
（2）取SB，CD，BC的中點分別為P，Q，R，連接MP，PQ，QR，PR
則PM

∥ .

.

1

2

AB

∥ .

.

DR⇒DM∥PQ，又PR

∥ .

.

1

2

SC
所以∠RPQ為異面直線DM，SC所成角或其補角
計算易得∠RPQ=60°，即異面直線DM，SC所成角為60°

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的轉化關系，（2）中構造出∠RPQ為異面直線DM，SC所成角或其補角，是解答本題的關鍵．