Question

已知點A在曲線P：y=x²（x＞0）上，⊙A過原點O，且與y軸的另一個交點為M．若線段OM，⊙A和曲線P上分別存在點B、點C和點D，使得四邊形ABCD（點A，B，C，D順時針排列）是正方形，則稱點A為曲線P的“完美點”．那么下列結論中正確的是（　　）

• A、曲線P上不存在“完美點”
• B、曲線P上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于1
• C、曲線P上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于

  1

  2

  且小于1
• D、曲線P上存在兩個“完美點”，其橫坐標均大于

  1

  2

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：新定義

分析：假設點A為“完美點”，畫出圖象，設A（m，m²），通過討論m＜1時，m≥1時的情況從而得到答案．

解答： 解：如下圖左，如果點A為“完美點”，則AB=AD=

2

2

AC=

2

2

OA，
以A為圓心，

2

2

OA為半徑作圓T（如下圖右中虛線圓），
交y軸于點B，B′（可重合），交拋物線于點D，D′，
點A為“完美點”當且僅當AB⊥AD，若下圖右，
（結合圖象知，B點一定是上方的交點，否則在拋物線上不存在D點使得AB⊥AD；
D也一定是上方的交點，否則A，B，C，D不是順時針），
，，
下面考慮當點A的橫坐標越來越大時∠BAD的變化情況，
設A（m，m²），當m＜1時，∠AOY=45°，
此時圓T與y軸相離或相切時，此時A不是完美點，
故只需考慮m≥1，當m增加時，∠BAD越來越小，且趨近于0，（推理在后面），
而當m=1時，∠BAD＞90°，
故曲線P上存在唯一一個完美點，其橫坐標大于1，
當m增加時，∠BAD越來越小，且趨近于0°的推理：
過A作AH⊥y軸于點H，
分別過點A，D作x軸，y軸的平行線交于N，
先考慮∠BAH：cos∠BAH=

m

2 2 m2+m4

=

2

1+m2

，
于是m增大時，cos∠BAH減小且趨于0，從而∠BAH增大，且趨于90°，
再考慮∠DAN，記D（n，n²），則tan∠DAN=

n2-m2

n-m

=n+m，
隨著m的增大，OA的長增大，AD=

2

2

OA也增大，
于是m+n增大，從而tan∠DAN增大，∠DAN增大且趨近于90°，
∴∠BAD=π-∠BAH-∠DAN隨著m的增大而減小，且趨于0°，
故選：B．

點評：本題考查了新定義問題，考查了二次函數的性質，考查了數形結合思想，本題有一定難度．