Question

設點列A_n（x_n，0）、P_n（x_n，2^n-1）和拋物線列（n∈N*），x_n由以下方法得到：點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線上，點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離；試寫出x_n+1和x_n之間的遞推關系式為x_n+1=    （用x_n表示）．

Answer 1

【答案】分析：本題考查數列與解析幾何的綜合問題，涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關系、導數及其幾何意義等多方面的知識和方法．要充分利用點在拋物線上則滿足拋物線方程，結合兩點間的距離公式用點p（x，y）表示||AnP|，然后借助于導數，因為點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離，所以有f'（x_n+1）=0，建立方程，最終使問題得到解決．
解答：解：由題意得設點P（x，y）是Cn上任意一點，
則|A_nP|=，令．
則f'（x）=2（x-x_n）+2（x²++a_n）（2x+）
因為點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離，所以f'（x_n+1）=0，
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²++a_n）（2x_n+1+）=0
又點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線上，
∴，從而可得，
故答案為：．
點評：本題的綜合性極強，是多種知識和方法的匯總，處理起來難度較大，不僅需要具備綜合運用知識的能力，還要運算準確