Question

設點列A_n（x_n，0）、P_n（x_n，2^n-1）和拋物線列Cn：y=x2+

x

2n

+an（n∈N*），x_n由以下方法得到：點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線Cn：y=x2+

x

2n

+an上，點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離；試寫出x_n+1和x_n之間的遞推關系式為x_n+1=

 

（用x_n表示）．

Answer 1

分析：本題考查數列與解析幾何的綜合問題，涉及了拋物線方程、直線與拋物線的關系、導數及其幾何意義等多方面的知識和方法．要充分利用點在拋物線上則滿足拋物線方程，結合兩點間的距離公式用點p（x，y）表示||AnP|，然后借助于導數，因為點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離，所以有f'（x_n+1）=0，建立方程，最終使問題得到解決．

解答：解：由題意得設點P（x，y）是Cn上任意一點，
則|A_nP|=

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

，令

f(x)

 =

(x-xn)2+(x2+ x 2n +an )2

．
則f'（x）=2（x-x_n）+2（x²+

x

2n

+a_n）（2x+

1

2n

）
因為點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離，所以f'（x_n+1）=0，
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+

x

2n

+a_n）（2x_n+1+

1

2n

）=0
又點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線Cn：y=x2+

x

2n

+an上，
∴2n=xn+12+

xn+1

2n

+an，從而可得xn+1=

xn-1

2n+1+1

，
故答案為：xn+1=

xn-1

2n+1+1

．

點評：本題的綜合性極強，是多種知識和方法的匯總，處理起來難度較大，不僅需要具備綜合運用知識的能力，還要運算準確