Question

（2013•河池模擬）已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），O為原點，F為右焦點，點M是橢圓右準線l上（除去與x軸的交點）的動點，過F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，則線段ON的長為（　　）

A．c

B．b

C．a

D．不確定

Answer 1

分析：首先結合題意利用點斜式寫出直線FN的方程，并且進行整理，設N（x，y），再由ON⊥NM，即斜率之積等于-1得到一個關于x，y的等式，進而把直線FN的方程代入此等式化簡，可得x²+y²=a²，即可得到線段ON的長．

解答：解：由題意可得設F（c，0），點M（

a2

c

，m），
∴k_OM=

mc

a2

，
由題意可得：OM⊥FN，
∴FN的方程為：y-0=

-a2

mc

（x-c），
∴整理方程可得：my=

-a2

c

（x-c），即my+

a2

c

x=a²①，
∵過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，
∴ON⊥NM，即K_ON•K_NM=-1，
設N（x，y），
∴

y

x

•

y-m

x- a2 c

=-1，整理可得：x²+y²=

a2

c

x+my  ②，
聯立①②得：x²+y²=

a2

c

x+my=a²，
∴|ON|=

x2+y2

=a．
故選C．

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質與直線和圓的位置關系的應用，以及考查形式的運算能力與分析問題解決問題的能力，此題在運算方面有一定的技巧，因此在計算時要靈活，此題屬于中檔題．