Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y2＝1上；

（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）滿足條件的點N存在，其坐標為

【解析】

試題分析：根據條件，可用參數表示點的坐標，兩點式寫出直線的方程，并求出它們的交點的坐標，消去參數即可得證.（2）假設存在點在直線上，使,

設， ，, ， 直線的斜率為，直線的斜率為 ，可寫出兩直線的方程，并分別與橢圓方程聯立組成方程級，利用一元二次方程根與系數的關系，結合條件探究與的關系，從而確定關于的方程的根的存在性，也就是點的存在性.

試題解析：（1）由已知，得F(，0)，C(，1)．

由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．

又E(0，－1)，G(0，1)，則

直線ER的方程為y＝x－1， ①

直線GR′的方程為y＝－x＋1． ②

由①②，得M(，)．

∵＋()2＝＝＝1，

∴直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y2＝1上． 5分

（2）假設滿足條件的點N(x0，y0)存在，則

直線NF1的方程為y＝k1(x＋1)，其中k1＝，

直線NF2的方程為y＝k2(x－1)，其中k2＝．

由消去y并化簡，得(2k12＋1)x2＋4k12x＋2k12－2＝0．

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝．

∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k12≠1．

∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·＝k1(2－)＝－．

同理可得kOS＋kOT＝－．

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＋)＝－2·＝－．

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．

由點N不在坐標軸上，知k1＋k2≠0，

∴k1k2＝1，即·＝1． ③

又y0＝x0＋2， ④

解③④，得x0＝－，y0＝．

故滿足條件的點N存在，其坐標為（－，）． 13分

考點：1、動點軌跡方程的求法；2、直線與橢圓的位置關系的應用；3、平面向量的坐標表示.