Question

（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使

PQ

⊥

QD

，說明理由．
（2）問當Q點惟一，且cos＜

BP

，

QD

＞=

10

10

時，求點P的位置．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系A一xyz，設P，D，Q的坐標，求得向量坐標，利用

PQ

⊥

QD

，可方程，利用判別式，即可得到結論；
（2）當Q點惟一時，由5題知，a=2，y=1，利用cos＜

BP

，

QD

＞=

10

10

，建立方程，即可求點P的位置．

解答：（理）解：（1）如答圖9-6-2所示，建立空間直角坐標系A一xyz，設P（0，0，z），D（0，a，0），Q（1，y，0），

則

PQ

=（1，y，-z），

QD

=（-1，a-y，0），且

PQ

⊥

QD

，
∴

PQ

•

QD

=-1+y（a-y）=0
∴y²-ay+1=0．
∴△=a²-4．
當a＞2時，△＞0，存在兩個符合條件的Q點；
當a=2時，△=0，存在惟一一個符合條件的Q點；
當a＜2時，△＜0，不存在符合條件的Q點．
（2）當Q點惟一時，由題知，a=2，y=1．
∴B（1，0，0），

BP

=（-1，0，z），

QD

=（-1，1，0）．
∴cos＜

BP

，

QD

＞=

BP • QD

| BP || QD

=

1

1+z2 × 2

=

10

10

．
∴z=2．即P在距A點2個單位處．

點評：本題考查向量在幾何中的運用，解題的關鍵是建立坐標系，利用坐標表示點與向量，屬于中檔題．