Question

20．已知函數f（x）=lnx+ax²
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a＞1，若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）根據第一問的單調性先對|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|進行化簡整理，轉化成研究g（x）=f（x）-4x在（0，+∞）單調增函數，再利用參數分離法求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，（x＞0），
a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
故函數f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）遞減；
（2）不妨設x₁≤x₂，而a＞1，
由（1）得：f（x）在（0，+∞）遞增，
從而對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等價于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁①
令g（x）=f（x）-4x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-4
①等價于g（x）在（0，+∞）單調遞增，即$\frac{1}{x}$+2ax-4≥0．
從而2a≥$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$-（\frac{1}{x}-2）^{2}$+4，∴a≥2
故a的取值范圍為[2，+∞）．

點評 本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．