Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）如果f（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）是否存在常數(shù)a，使f（x）為奇函數(shù)？如果存在，求a的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）若f（x）存在零點(diǎn)，即f（x）=a-

1

2x+1

=0，推出a=

1

2x+1

，從而求出a的范圍；
（2）假設(shè)存在，函數(shù)f（x）定義域為R，f（x）為奇函數(shù)可得f（0）=0，可得a的值，求出f（x）的解析式；

解答：解：（1）令f（x）=0得a=

1

2x+1

，
由于2x＞0，0＜

1

2x+1

＜1
欲使f（x）有零點(diǎn)，a∈（0，1）
（2）易知函數(shù)f（x）定義域為R．
如果f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=0，可得a=

1

2

此時f(x)=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2•(2x+1)

∴f(-x)=

2-x-1

2•(2-x+1)

=

1-2-x

2•(1+2-x)

=-f(x)，
所以，當(dāng)a=

1

2

時f（x）為奇函數(shù)；

點(diǎn)評：此題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，第二問涉及奇函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題；