Question

某縣為落實(shí)國家農(nóng)村醫(yī)療保險(xiǎn)（簡稱“醫(yī)保”）的政策，制定了如下實(shí)施方案：2011年底通過農(nóng)民個(gè)人投保和政府財(cái)政投入，共籌資l 000萬元作為全縣的農(nóng)村醫(yī)保基金，并且從2012年起農(nóng)民每年報(bào)銷的醫(yī)保費(fèi)都為上一年年底農(nóng)村醫(yī)保基金余額的10%，并且每年年底縣財(cái)政都向醫(yī)保基金補(bǔ)充m（m＞0）萬元．
（1）以2011年為第1年，求第n（n≥1）年年底該縣農(nóng)村醫(yī)保基金有多少萬元？（用m，n表示）
（2）根據(jù)該縣的農(nóng)村人口數(shù)量和財(cái)政狀況，縣政府要求每年年底農(nóng)村醫(yī)保基金逐年增加且不超過1 500萬元，問：每年補(bǔ)充的醫(yī)保基金m（單位：萬元）應(yīng)控制在什么范圍？

Answer 1

分析：（1）利用從2012年起農(nóng)民每年報(bào)銷的醫(yī)保費(fèi)都為上一年年底農(nóng)村醫(yī)保基金余額的10%，并且每年年底縣財(cái)政都向醫(yī)保基金補(bǔ)充m（m＞0）萬元，確定數(shù)列遞推式，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）利用縣政府要求每年年底農(nóng)村醫(yī)保基金逐年增加且不超過1500萬元，可得不等式，從而可求每年補(bǔ)充的醫(yī)保基金m應(yīng)控制的范圍．

解答：解：（1）設(shè)第n年底該縣農(nóng)村醫(yī)保基金為a_n萬元，則a₁=1000，a_n=（1-10%）a_n-1+m（n≥2），即a_n=

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a_n-1+m（n≥2）
于是a_n-10m=

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（a_n-1-10m）（n≥2）．
所以a_n-10m=(

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)n-1（a₁-10m），即a_n=10m+(

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)n-1（1000-10m），
故第n年底該縣農(nóng)村醫(yī)保基金有10m+(

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)n-1（1000-10m）萬元；              
（2）若每年年底的醫(yī)保基金逐年增加，則數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
因?yàn)閥=(

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)n-1是減函數(shù)，則1000-10m＜0時(shí)，即m＞100．
又a_n=10m+(

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)n-1（1000-10m）≤1500恒成立，則10m≤1500，所以m≤150．
故每年新增醫(yī)保基金m的控制范圍是（100，150]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．