Question

（本小題滿分14分）

　　　已知函數f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的單調區間；

（Ⅱ）記f(x)在區間（n∈N*）上的最小值為b_x令a_n=ln(1+n)-b_x。

（ⅰ）如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；

（ⅱ）求證： 。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）-1<x<0，f(x)的單調遞增區間為（-1，0）；x>0，f(x)的單調遞增區間為（0，+）.

（Ⅱ）（ⅰ）（-，1）

（ⅱ）證明見解析。

【解析】本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分.

解法一：

（I）因為f(x)=ln(1+x)-x，所以函數定義域為（-1,+）,且f〃(x)=-1=.

由f〃(x)>0得-1<x<0，f(x)的單調遞增區間為（-1，0）；

由f〃(x)<0得x>0，f(x)的單調遞增區間為（0，+）.

(II)因為f(x)在[0,n]上是減函數，所以b_n=f(n)=ln(1+n)-n,

則a_n=ln(1+n)-b_n=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此c<1，即實數c的取值范圍是（-，1）.

（ⅱ）由（i）知

因為[]²

=

所以＜(nN^*),

則＜

N*）

 

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為f(x)在上是減函數，所以

　　　則

（i）因為對n∈N*恒成立.所以對n∈N*恒成立.

　　則對n∈N*恒成立.

　　設 n∈N*，則c＜g(n)對n∈N*恒成立.

　　考慮

　　因為＝0，

　　所以內是減函數；則當n∈N*時，g(n)隨n的增大而減小，

又因為＝1.

所以對一切因此c≤1,即實數c的取值范圍是(-∞，1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用數學歸納法證明不等式

     ①當n=1時，左邊＝，右邊＝，左邊<右邊.不等式成立.

     ②假設當n=k時,不等式成立.即

當n=k+1時，

 

=

即n＝k＋1時，不等式成立

綜合①、②得，不等式成立.

所以

即.