Question

已知

a

=（1，2），

b

=（1，-1）
（1）若θ為2

a

+

b

與

a

-

b

的夾角，求θ的值；
（2）若2

a

+

b

與k

a

-

b

垂直，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量線性運算的坐標表示，分別得出2

a

+

b

和

a

-

b

的坐標，利用數量積的運算性質算出（2

a

+

b

）（

a

-

b

）的值和2

a

+

b

、

a

-

b

的模，結合向量的夾角公式即可算出2

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ的值；
（2）根據向量

a

=（1，2），

b

=（1，-1）算出2

a

+

b

和k

a

-

b

的坐標，利用向量垂直的充要條件建立關于k的關系式，解之即可得到實數k的值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），

a

-

b

=（0，3）
由此可得（2

a

+

b

）（

a

-

b

）=3×0+3×3=9
∴cosθ=

(2 a + b )( a - b )

|2 a + b |•| a - b |

=

9

32+32 • 02+32

=

2

2

∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

；
（2）∵

a

=（1，2）

b

=（1，-1）
∴2

a

+

b

=（3，3），k

a

-

b

=（k-1，2k+1）
∵向量2

a

+

b

與k

a

-

b

垂直，
∴3（k-1）+3（2k+1）=0，解之得k=0

點評：本題給出向量

a

、

b

的坐標，求它們的兩個線性組合向量的夾角，并探索向量垂直的問題，著重考查了平面向量數量積的運算性質和向量垂直的充要條件等知識，屬于基礎題．