Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時f（x）=2x-x²；
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）畫出其大致圖象并指出其單調區間．
（3）若函數g（x）=f（x）+k-1有三個零點，求K的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）是定義在R上的奇函數，先設x＜0時，則-x＞0，結合題意得到f（-x）=-（-x）²+2（-x），然后利用函數的奇偶性進行化簡，進而得到函數的解析式．
（2）先畫出當x≥0時，的函數圖象，結合奇函數圖象關于原點對稱可畫出x＜0時的函數圖象即可
（3）結合函數的圖象進行判斷
解答：（1）解：當x＜0時，則-x＞0，
因為當x≥0時，f（x）=-x²+2x
所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x
又因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（-x）=-f（x），
所以-f（x）=-x²-2x
∴f（x）=x²+2x，x＜0
∴…（4分）
（2）圖象如圖
其單調遞增區間[-1，1]，單調遞減區間（-∞，-1），（1，+∞）…（9分）
（3）∵g（x）=f（x）+k-1有三個零點
即f（x）與y=1-k有三個交點（0，2），結合（2）中函數的圖象可得-1＜1-k＜1
∴0＜k＜2（13分）
點評：本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，及利用函數的圖象求解函數的單調區間及方程的零點與函數的圖象的交點個數的相互關系的轉化