Question

（2010•溫州一模）在空間直角坐標系O-xyz中，稱球面S：x²+y²+z²=1上的點N（0，0，1）為球極，連接點N與A（x，y，0）的直線交球面于
A′（x′，y′，z′），那么稱A′為A在球面上的球極射影，下列說法中正確的是

（1），（2），（3）

．
（1）xOy平面上關于原點對稱的兩個點的球極射影關于z軸對稱；
（2）在球極射影下，xOy平面上的點與球面S上的點（除球極外）是一一對應的；
（3）點（

1

2

，

3

2

，0）的球極射影為該點本身；
（4）點（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）．

Answer 1

分析：（1）xOy平面上關于原點對稱的兩個點的球極射影與點N構成一個等腰三角形；（2）由球極射影的概念知，在球極射影下，xOy平面上的點與球面S上的點（除球極外）是一一對應的；（3）點（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上；（4）點（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．

解答：解：（1）∵xOy平面上關于原點對稱的兩個點的球極射影與點N構成一個等腰三角形，
等腰三角形的頂點是N，等腰三角形的另外兩個點就是xOy平面上關于原點對稱的兩個點的球極射影，
∴它們關于z軸對稱．故（1）正確；
（2）由球極射影的概念知，在球極射影下，xOy平面上的每一個點都在球面上有一個唯一對應的點；
反之，除球極N（0，0，1）之處，球面上的每一個點在xoy平面上都有唯一對應的點．
∴在球極射影下，點xOy平面上的點與球面S上的點（除球極外）是一一對應的．
故（2）正確；
（3）∵點（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上，
∴點（

1

2

，

3

2

，0）的球極射影還是點（

1

2

，

3

2

，0）
∴它的球極射影為該點本身．故（3）正確；
（4）∵點（2，1，0）的球極射影為（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．
而（

2

3

，

1

3

，

2

3

）與（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）不重合．
∴（4）不正確．
故正確答案為：（1），（2），（3）．

點評：本題考查空間中的點的坐標的應用，解題時要認真審題，正確理解球極射影這個新定義，注意轉化化歸思想的靈活運用．