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已知函數f(x)=2x3-ax2+6bx在x=-1處有極大值7.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的單調區間;
(Ⅲ)求f(x)在x=1處的切線方程.
分析:(Ⅰ)欲求f (x)的解析式,只需得到含兩個a,b的等式,根據函數f (x)在x=-1處有極大值,可知,函數在x=-1處導數等于0,根據極大值為7,可知,x=7時,函數值等于7,這樣,就可求出a,b.
(Ⅱ)先對函數求導,再令導數大于0,解出x的范圍,為函數的增區間,令導數小于0,解出x的范圍,為函數的減區間.
(Ⅲ)先求f (x)在x=1處的導數,就是f (x)在x=1處的切線的斜率,再利用點斜式,求出切線方程.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=6x2-2ax+6b,
f′(-1)=0
f(-1)=7

6+2a+6b=0
-2-a-6b=7
a=3
b=-2
,經檢驗滿足題意      
∴f(x)=2x3-3x2-12x.      
(Ⅱ)∵f'(x)=6x2-6x-12,令 6x2-6x-12<0,
令6x2-6x-12>0,x2-x-2<0,
x2-x-2>0,(x+1)(x-2)<0,
(x+1)(x-2)>0,(x+1)(x-2)<0,
∴x<-1或x>2.   (1分)∴-1<x<2      
∴f (x)在(-∞,-1)和(2,+∞)內為增函數,
f (x)在(-1,2)內為減函數.
(Ⅲ)∵f'(x)=6x2-6x-12
∴f'(1)=-12(1分)∵f(1)=-13  
∴切線方程為y+13=-12(x-1),即y=-12x-1
點評:本題主要考查利用導數求函數在某一點處的極值,求函數的單調區間,以及倒數的幾何意義,屬中檔題.
練習冊系列答案
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1
x
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同步練習冊答案
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