Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer 1

（1）證明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四邊形，
所以B₁D₁∥BD．
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）證明：因為BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因為BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）當點M為棱BB₁的中點時，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．
因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC₁D₁的交線，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可證得，O是NN₁的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC₁D₁D，因為OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．