Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D。

Answer 1

（1）證明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1=DD1， 所以，BB1D1D是平行四邊形， 所以，B1D1∥BD， 而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD， 所以B1D1∥平面A1BD． （2）證明：因為BB1⊥面ABCD，AC面ABCD， 所以BB1⊥AC， 又因為BD⊥AC，且BD∩BB1=B， 所以，AC⊥面BB1D， 而MD面BB1D， 所以MD⊥AC．
（3）解：當點M為棱BB1的中點時，平面DMC1⊥平面CC1D1D， 取DC的中點N，D1C1的中點N1， 連結NN1交DC1于O，連結OM， 因為N是DC中點，BD=BC， 所以，BN⊥DC； 又因為DC是面ABCD與 面DCC1D1的交線， 而面ABCD⊥面DCC1D1， 所以，BN⊥面DCC1D1， 又可證得，O是NN1的中點， 所以，BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形， 所以，BN∥OM， 所以，OM⊥平面CC1D1D， 因為OM面DMC1， 所以，平面DMC1⊥平面CC1D1D．