Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC與BD相交于點O．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一點，且CM⊥PB，求

|PM|

|MB|

的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC與BD相交于點O，根據平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結合線面垂直的判定定理，我們易得到結論．
（II）以O為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線 PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案．
（III）設出M點的坐標，并由由M是PB上的一點，且CM⊥PB，我們易構造方程組，求出M點的坐標，進而代入向量模的計算公式，計算出

|PM|

|MB|

的值．

解答：（Ⅰ）證明：因為ABCD為菱形，
所以O為AC，BD的中點（1分）
因為PB=PD，PA=PC，
所以PO⊥BD，PO⊥AC
所以PO⊥底面ABCD（3分）
（Ⅱ）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD
建立如圖所示空間直角坐標系
又∠ABC=60°，PA=AB=2
得OA=1，OB=

3

，OP=1（4分）
所以P(0，0，1)，B(0，-

3

，0)，C(1，0，0)，D(0，

3

，0)

PB

=(0，-

3

，-1)，

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(0，

3

，-1)（5分）
設平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)
有

m • PC =0 m • PD =0

所以

x-z=0 3 y-z=0

解得

x=z y= 3 3 z

所以

m

=(3，

3

，3)（8分）

m

•

PB

=|

m

|•|

PB

|cos?

m

，

PB

＞cos?

m

，

PB

＞=

-6

21×4

=-

21

7

（9分）
PB與平面PCD所成角的正弦值為

21

7

（10分）
（Ⅲ）解：因為點M在PB上，所以

PM

=λ

PB

=λ(0，-

3

，-1)
所以M(0，-

3

λ，-λ+1)，

CM

=(-1，-

3

λ，-λ+1)
因為CM⊥PB
所以　

CM

•

PB

=0，得3λ+λ-1=0解得λ=

1

4

所以

|PM|

|MB|

=

1

3

（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點及坐標軸方向，建立空間坐標系，將問題轉化為一個向量問題是解答此類問題的關鍵．