Question

（2004•黃浦區一模）求證：在從4n個不同元素中取出n個元素的所有組合中，含有某特定元素的組合個數等于不含該特定元素組合個數的

1

3

．

Answer 1

分析：根據特殊元素特殊對待的策略，從4n個不同元素中取出n個元素的所有組合中，含某特定元素的組合個數為C_4n-1^n-1，不含該特定元素的組合個數為C_4n-1^n-1，利用組合數公式化簡整理即可得證．

解答：證明：從4n個不同元素中取出n個元素的所有組合中，
含某特定元素的組合個數為C_4n-1^n-1，不含該特定元素的組合個數為C_4n-1ⁿ（3分），
∵

C

n 4n-1

=

(4n-1)(4n-2)…•3n

n!

=

(4n-1)(4n-2)…•(3n+1)

(n-1)!

•

3n

n

=

C

n-1 4n-1

•3
∴

C

n-1 4n-1

=

1

3

C

n 4n-1

，命題得證．（6分）

點評：本題考查組合及組合數公式，難點在于確定含某特定元素的組合個數及不含該特定元素的組合個數，考查學生的理解分析與計算的能力，屬于中檔題．