Question

如圖,表示以AB=4 cm,BC=3 cm的長方形ABCD為底面的長方體被平面斜著截斷的幾何體,EFGH是它的截面.當AE=5 cm,BF=8 cm,CG=12 cm時,試回答下列問題:

(1)求DH的長;

(2)求這個幾何體的體積;

(3)截面四邊形EFGH是什么圖形?并證明你的結論.

Answer 1

解:(1)過E作EB₁⊥BF,則BB₁=AE=5,所以B₁F=8-5=3.

根據面面平行的定理,因為平面ABFE∥平面DCGH,EF和HG是它們分別與截面的交線,所以EF∥HG.

過H作HC₁⊥CG,垂足為C₁.則

GC₁=FB₁=3 cm,DH=12-3=9(cm).

(2)用一個與該幾何體完全相同的幾何體,倒置其上,使它們拼接組合成一個以ABCD為底,高為17 cm的長方體.設原幾何體的體積為V.所以

2V=3×4×17=204(cm³),

即V=102 cm³.

(3)已知EF∥HG,同理,EH∥FG.

于是EFGH是平行四邊形.

因為EF==5,過E作ED₁⊥DH,則

DD₁=AE=5,ED₁=AD=3,HD₁=9-5=4,

所以EH==5.

所以EF=EH.故EFGH是菱形.