Question

（2007•濰坊二模）如圖中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率e=

2

2

，且經過拋物線x²=4y的焦點．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若過點B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點坐標，根據橢圓中心在原點，焦點在x軸上求得b的值，再由橢圓的離心率求出a與c的關系，結合b²=a²-c²求出a²，從而橢圓的方程可求；
（Ⅱ）點B在橢圓之外，由圖形可知當線段趨近橢圓切線時，E和F點也趨近重合，此時

S△OBE

S△OBF

趨近于1，當E、F點趨近X軸時三角形OBE和三角形OBF面積之比則趨近

OB-a

OB+a

=

2- 2

2+ 2

=3-2

2

．則答案可求．

解答：解：（1）拋物線x²=4y的焦點為（0，1），而橢圓經過其焦點，又長軸在X軸上，
則短半軸長為1，
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由b=1，e=

c

a

=

2

2

，c=

2 a

2

．
b2=a2-c2=a2-

a2

2

=

a2

2

=1，
所以a²=2，
故橢圓方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）如圖，點B坐標（2，0）在橢圓之外，當線段趨近橢圓切線時，E和F點也趨近重合，
此時

S△OBE

S△OBF

趨近于1，
而當E、F點趨近X軸時三角形OBE和三角形OBF面積之比則趨近

OB-a

OB+a

=

2- 2

2+ 2

=3-2

2

．
故3-2

2

＜

S△OBE

S△OBF

＜1．

點評：本題考查了橢圓的方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數形結合的解題思想和極限思想，是有一定難度題目．