Question

（2012•莆田模擬）下列方程所表示的直線能與拋物線x2=

5

y與曲線y²-x²=1（y≤-1）都相切的是（　　）

• A．x-y-

  5

  4

  =0
• B．x-

  5

  y-

  1

  4

  =0
• C．2x-

  5

  y-1=0
• D．2x-y-

  5

  =0

Answer 1

分析：假設(shè)直線方程，分別與拋物線x2=

5

y、曲線y²-x²=1（y≤-1）聯(lián)立，利用判別式，代入驗(yàn)證，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)切線方程為y=kx+b，代入拋物線方程可得x2-

5

kx-

5

b=0，∴△₁=5k2+4

5

b=0，∴k2=-

4 5

5

b
y=kx+b，代入曲線y²-x²=1（y≤-1）可得（k²-1）x²+2kx+b²-1=0，∴△₂=4k²-4（k²-1）（b²-1）=0
代入驗(yàn)證，對(duì)于A，k=1，b=-

5

4

，此時(shí)△₁=0，△₂≠0；
對(duì)于B，k=

1

5

，b=-

1

4 5

，此時(shí)△₁=0，△₂≠0；
對(duì)于C，k=

2

5

，b=-

1

5

，此時(shí)△₁=0，△₂=0；
對(duì)于D，k=2，b=-

5

，此時(shí)△₁=0，△₂≠0；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．