Question

（2013•沈陽二模）三棱錐A-BCD的外接球為球O，△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形，△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，且BD=

2

，向量

DA

與

AB

的夾角為

2π

3

，則球O的表面積為

3π

．

Answer 1

分析：三棱錐A-BCD的各條側棱長都可以求出來，如圖，所以它的棱AC的中點即為球的球心，AC的長為球的直徑，然后解答即可．

解答：解：∵向量

DA

與

AB

的夾角為

2π

3

，∴∠BAD=

π

3

，
因△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形，且AC=DC，
∴△ABC≌△ACD，
∴AB=DA，
∴△ABD是等邊三角形，
∴有AB=AD=AD=

2

，
又棱AC的中點即為球的球心，AC的長為球的直徑，
∴它的外接球半徑是 

1

2

AC=

1

2

×

3

外接球的表面積是 4π（

3

2

）2=3π
故答案為：3π

點評：本題是基礎題，考查球的內接體，球的表面積，考查計算能力，空間想象能力，轉化思想的應用．