Question

（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，⊙O₁與⊙O₂交于M、N兩點，直線AE與這兩個圓及MN依次交于A、B、C、D、E．
求證：AB•CD=BC•DE．

Answer 1

【答案】分析：分別在圓O₁中和圓O₂中，運用相交弦定理，可得出AC•CD=BC•CE，再將AC=AB+BC和CE=CD+DE代入，化簡整理即可得到AB•CD=BC•DE．
解答：解：∵在圓O₁中，AD、MN相交于點C，
∴根據(jù)相交弦定理，得AC•CD=MC•CN．
同理在圓O₂中有BC•CE=MC•CN，
∴AC•CD=BC•CE…（5分）
即（AB+BC）•CD=BC•（CD+DE），
得AB•CD+BC•CD=BC•CD+BC•DE，
∴AB•CD=BC•DE …（10分）
點評：本題給出兩個相交的圓，求證線段的乘積相等，著重考查了兩圓相交的性質(zhì)和相交弦定理等知識，屬于基礎題．