Question

（2013•海口二模）選修4-1：幾何證明選講
切線AB與圓切于點B，圓內有一點C滿足AB=AC，∠CAB的平分線AE交圓于D，E，延長EC交圓于F，延長DC交圓于G，連接FG．
（Ⅰ）證明：AC∥FG；
（Ⅱ）求證：EC=EG．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明△ACD∽△AEC，推出∠ACD=∠AEC，然后證明AC∥FG                  
（Ⅱ）證明：連接BD，BE，EG，證明△ABD≌△ACD，△ABE≌△△ACE，然后證明BE=EG，

解答：證明：（Ⅰ）證明：∵AB切圓于B，
∴AB²=AD•AE，
又∵AB=AC，
∴AC²=AD•AE，
∴△ACD∽△AEC，
∴∠ACD=∠AEC，
又∵∠AEC=∠DGF，
∴∠ACD=∠DGF，∴AC∥FG                                 （5分）
（Ⅱ）證明：連接BD，BE，EG
由AB=AC，∠BAD=∠DAC及AD=AD，知△ABD≌△ACD，同理有△ABE≌△ACE，
∴∠BDE=∠CDE，BE=CE
∴BE=EG，
∴EC=EG                               （10分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，三角形的全等與三角形相似定理的應用，考查邏輯推理能力．