Question

銳角二面角α-l-β的棱l上一點A，AB?α，且與棱成45°角，與β成30°角，則二面角α-l-β的大小是（　　）

A．30°

B．75°

C．60°

D．45°

Answer 1

分析：利用圖形，根據題設條件，先作出線面角，再利用三垂線定理作出二面角的平面角；證明符合定義；通過解三角形求解即可．

解答：解：如圖：過B作BO⊥β，垂足為O，
過O在β內作OC⊥l于C，連接BC． 
∵BO⊥β，∴OC是BC在平面β內的射影，由三垂線定理，BC⊥l，
∴∠BCO為二面角α-l-β的平面角．
又∵OA是AB在平面β內的射影，
∴∠BAO為AB與β所成的角，∠BAO=

π

6

，BO=

1

2

AB；
∵∠BAC=

π

4

，在Rt△ABC中，BC=

2

2

AB；
在Rt△BCO中，sin∠BCO=

BO

BC

=

2

2

；
∴∠BCO=

π

4

．
二面角α-l-β的大小是

π

4

，
故選D．

點評：本題考查二面角的平面角及求法．常用三垂線定理或二面角的平面角的定義作二面角的平面角．空間角的求法：1、作角（作垂線段）；2、證角（符合定義）；3、計算求角．