Question

x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m+1=0的兩個不等實根，且y=x12+x22，求y=f（m）的解析式及值域．

Answer 1

分析：根據韋達定理根與系數的關系求出函數的解析式；解△＞0求出函數的定義域，再利用二次函數的單調性求值域．

解答：解：由△=4（m-1）²-4（m+1）＞0⇒4m²-12m＞0，⇒m＞3或m＜0，
由韋達定理可得x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m+1
f（m）=(x1+x2)2-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m+1）=4m²-10m+2=4(m-

5

4

)2-

17

4

，
∴函數在（-∞，0）上單調遞減，在（3，+∞）上單調遞增，
∵f（0）=2＜f（3）=8，
f（m）＞f（0）=2，
故函數的值域為（2，+∞）．

點評：本題考查了函數的解析式及求法，函數的定義域及求法，考查了函數的值域及求法，體現了函數思想．