Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是命題的真假判定，由命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立，我們易求出P是真命題時，a的取值范圍；由命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，我們也易求出q為假命題時的a的取值范圍，再由命題p是真命題，命題q是假命題，求出兩個范圍的公共部分，即得答案．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根
∴

x1+x2=m x1x2=-2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

∴當m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立．
可得：a²-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命題p為真命題時a≥6或a≤-1，
命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解．
①當a＞0時，顯然有解．
②當a=0時，2x-1＞0有解
③當a＜0時，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
從而命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解時a＞-1．
又命題q是假命題，
∴a≤-1，
故命題p是真命題且命題q是假命題時，
a的取值范圍為a≤-1．

點評：若p為真命題時，參數a的范圍是A，則p為假命題時，參數a的范圍是C_RA．這個結論在命題的否定中經常用到，請同學們熟練掌握