Question

已知二次函數f（x）=x²-bx+2．
（1）若f（x）為偶函數，求b的值；
（2）若b=2，求f（x）在[t，t+1]（t∈R）上的最小值g（t）．

Answer 1

分析：（1）直接根據偶函數的定義可知f（-x）=f（x），從而可求出b的值；
（2）先將函數f（x）進行配方，得到對稱軸，然后討論對稱軸與區間[t，t+1]的位置關系，從而得到最小值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-bx+2，f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x）即x²+bx+2=x²-bx+2恒成立，則b=0；
（2）當b=2時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
當t＞1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2，
當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，g（t）=f（1）=1，
當t+1＜1，即t＜0時，f（x）在區間[t，t+1]上是減函數，
∴g（t）=f（t+1）=t²+1，
綜上可知：g（t）=

t2+1，t＜0 1，    0≤t≤1 t2-2t+2，t＞1

．

點評：本題考查函數的最值的求法，考查函數的解析式的求法，解題時要認真審題，注意配方法和分類討論法的合理運用．屬于中檔題．