Question

設(shè)橢圓

x2

2

+y2=1上一點P與原點O的距離為|OP|=r₁，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與橢圓相交于點Q，若|OQ|=r₂，則r₁r₂的最小值為（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  4

  3

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：設(shè)直線OP方程為y=kx，點P（x₁，y₁），利用方程組聯(lián)解的方法可得：x12=

2

1+2k2

，y12=

2k2

1+2k2

，所以r₁²=x12+y12=

2+2k2

1+2k2

．同理可得到Q（x₂，y₂）滿足：r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

，所以有

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，化簡整理，結(jié)合基本不等式，可得r₁r₂≥

4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂，即k²=1時，r₁r₂取到最小值

4

3

．

解答：解：設(shè)直線OP方程為y=kx，點P（x₁，y₁）
∵點P是橢圓

x2

2

+y2=1與直線y=kx的交點
∴由

y=kx x2 2 +y2=1

可得：x12=

1

1 2 +k2

=

2

1+2k2

，y12=k²x²=

2k2

1+2k2

∵點P與原點O的距離為|OP|=r₁，
∴r₁²=x12+y12=

1+k2

1 2 +k2

=

2+2k2

1+2k2

，
∵OQ是由OP繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得，
∴直線OQ方程為y=

1

k

x，
再設(shè)Q（x₂，y₂），用類似于求r₁²的方法，可得r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

∴r₁、r₂滿足

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，可得r12+r22=

3

2

r12r22
根據(jù)基本不等式，可得r12+r22≥2r₁r₂
∴

3

2

r12r22≥2r₁r₂，即r₁r₂≥

4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂，即k²=1時，r₁r₂取到最小值

4

3

故選B

點評：本題給出橢圓上兩點P、Q滿足∠POQ=90°，求OP、OQ之積的最小值，著重考查了橢圓的基本概念、直線與橢圓的關(guān)系和基本不等式等知識點，屬于中檔題．