Question

設橢圓

x2

2

+y2=1上一點P與原點O的距離為|OP|=r₁，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點O逆時針旋轉90°后與橢圓相交于點Q，若|OQ|=r₂，則r₁r₂的最小值為（　　）

A． 2 3

B． 4 3

C． 2

D．2

Answer 1

設直線OP方程為y=kx，點P（x₁，y₁）
∵點P是橢圓

x2

2

+y2=1與直線y=kx的交點
∴由

y=kx x2 2 +y2=1

可得：x12=

1

1 2 +k2

=

2

1+2k2

，y12=k²x²=

2k2

1+2k2

∵點P與原點O的距離為|OP|=r₁，
∴r₁²=x12+y12=

1+k2

1 2 +k2

=

2+2k2

1+2k2

，
∵OQ是由OP繞原點逆時針旋轉90°而得，
∴直線OQ方程為y=

1

k

x，
再設Q（x₂，y₂），用類似于求r₁²的方法，可得r₂²=x22+y22=

2+2k2

2+k2

∴r₁、r₂滿足

1

r12

+

1

r22

=

3

2

，可得r12+r22=

3

2

r12r22
根據基本不等式，可得r12+r22≥2r₁r₂
∴

3

2

r12r22≥2r₁r₂，即r₁r₂≥

4

3

，當且僅當r₁=r₂，即k²=1時，r₁r₂取到最小值

4

3

故選B