Question

如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PB⊥BD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD；
（3）若直線l過點(diǎn)P，且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點(diǎn)E，使得直線PC∥平面EBD．

Answer 1

（1）∵ABCD為直角梯形，AD=

2

AB=

2

BD，
∴AB⊥BD，（1分）
PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
BD⊥平面PAB，（4分）
PA?面PAB，∴PA⊥BD．（5分）

（2）假設(shè)PA=PD，取AD中點(diǎn)N，連PN，BN，
則PN⊥AD，BN⊥AD，（7分）
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，（8分）
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥CD（9分）
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PC，與已知條件PC與CD
不垂直矛盾
∴PC≠PD（10分）

（3）在上l取一點(diǎn)E，使PE=BC，（11分）
∵PE∥BC，∴四邊形BCPE是平行四邊形，（12分）
∴PC∥BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD
∴PC∥平面EBD．（14分）