Question

如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是

1. A.
   （1，2]
2. B.
   （2，+∞）
3. C.
   （1，2）
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

B
分析：先設出雙曲線右支任意一點坐標，根據到右焦點的距離和到中心的距離相等，利用兩點間距離公式建立等式求得x，進而利用x的范圍確定a和c的不等式關系，進而求得e的范圍，同時根據雙曲線的離心率等于2時，右支上只有一個點即頂點到中心和右焦點的距離相等，所以不能等于2，最后綜合求得答案．
解答：設雙曲線右支任意一點坐標為（x，y）則x≥a，
∵到右焦點的距離和到中心的距離相等，由兩點間距離公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=，
∵x≥a，∴≥a，得e≥2，
又∵雙曲線的離心率等于2時，右支上只有一個點即頂點到中心和右焦點的距離相等，所以不能等于2
故選B
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是求得a和c的不等式關系，考查了學生轉化和化歸的思想．