Question

如果雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，2]
• B、（2，+∞）
• C、（1，2）
• D、[2，+∞）

Answer 1

分析：先設出雙曲線右支任意一點坐標，根據到右焦點的距離和到中心的距離相等，利用兩點間距離公式建立等式求得x，進而利用x的范圍確定a和c的不等式關系，進而求得e的范圍，同時根據雙曲線的離心率等于2時，右支上只有一個點即頂點到中心和右焦點的距離相等，所以不能等于2，最后綜合求得答案．

解答：解：設雙曲線右支任意一點坐標為（x，y）則x≥a，
∵到右焦點的距離和到中心的距離相等，由兩點間距離公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=

c

2

，
∵x≥a，∴

c

2

≥a，得e≥2，
又∵雙曲線的離心率等于2時，右支上只有一個點即頂點到中心和右焦點的距離相等，所以不能等于2
故選B

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是求得a和c的不等式關系，考查了學生轉化和化歸的思想．