Question

從一個半徑為1的圓形鐵片中剪出圓心角為x弧度的一個扇形，并將其卷成一個圓錐（不考慮連接用料），若圓錐的容積達到最大時，則x的值是________．

Answer 1

分析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導數求出函數的最大值，得到結果．
解答：解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=πr²h
=π（R²-h²）h=πR²h-πh³（0＜h＜R）．…（3分）
V′=πR²-πh²．
令V'=0，即 πR²-πh²=0，得 h=R．…（5分）
當 0＜h＜R時，V'＞0．
當 R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把 h=R代入r²+h²=R²，得 r=R．
由Rx=2πr，得 x=π．
故答案為：．
點評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關系，體積的計算，考查計算能力，導數的應用，解題的關鍵是建立起體積的函數模型，理解函數的單調性與最值的關系是解本題的重點．