Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）設b_n=，求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得=+，即b_n+1=b_n+，由此能夠推導出所求的通項公式．
（2）由題設知a_n=2n-，故S_n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），設T_n=1++++…+，由錯位相減法能求出T_n=4-．從而導出數列{a_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）由已知得b₁=a₁=1，且=+，
即b_n+1=b_n+，從而b₂=b₁+，
b₃=b₂+，
b_n=b_n-1+（n≥2）．
于是b_n=b₁+++…+=2-（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通項公式為b_n=2-．
（2）由（1）知a_n=2n-，
故S_n=（2+4++2n）-（1++++…+），
設T_n=1++++…+，①
T_n=+++…++，②
①-②得，
T_n=1++++…+-
=-=2--，
∴T_n=4-．
∴S_n=n（n+1）+-4．
點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．