Question

已知橢圓M：的面積為πab，且M包含于平面區(qū)域Ω：內(nèi)，向Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓M內(nèi)的概率為，
(1)試求橢圓M的方程；
(2)若斜率為的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，）為橢圓M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：(1)平面區(qū)域Ω：是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖(1)所示， 依題意及幾何概型知識(shí)，可得， 故ab=2，因?yàn)?＜a≤2，0＜b≤， 所以a=2，b=， 所以橢圓M的方程為。
(2)如圖(2)，設(shè)直線l的方程為，， 聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程得， 將①代入②得， 化簡(jiǎn)得，③ 當(dāng)△＞0，即， 也即|b|＜2時(shí)，直線l與橢圓有兩交點(diǎn)， 由韋達(dá)定理得， 所以， 則 ， 所以k1+k2為定值。