Question

已知橢圓M：的面積為πab，M包含于平面區(qū)域Ω：內(nèi)，向平面區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓內(nèi)的概率為．
（Ⅰ）試求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若斜率為的直線l與橢圓M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論、

Answer 1

解：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得，
即．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/527208.png' />，
所以，．
所以，橢圓M的方程為
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：

（1）代入（2）得：
化簡(jiǎn)得：x²+bx+b²-3=0）
當(dāng)△＞0時(shí)，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2時(shí)，直線l'與橢圓有兩交點(diǎn)，
由韋達(dá)定理得：，
所以，，

則k₁+k₂==
所以，k₁+k₂為定值．
分析：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得，由此可導(dǎo)出橢圓M的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：，
∴，
然后結(jié)合題設(shè)條件，由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出k₁+k₂為定值0．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線 與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題、仔細(xì)解答，避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤．