Question

設函數常數且a∈（0，1）．
（1）當a=時，求f（f（））；
（2）若x滿足f（f（x））=x，但f（x）≠x，則稱x為f（x）的二階周期點，試確定函數有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x₁，x₂；
（3）對于（2）中x₁，x₂，設A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（a²，0），記△ABC的面積為s（a），求s（a）在區間[，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=時，根據所給的函數解析式直接求值即可得出答案；
（2）根據二階周期點的定義，分段進行求解，找出符號定義的根即為所求；
（3）由題意，先表示出s（a）的表達式，再借助導數工具研究s（a）在區間[，]上的單調性，確定出最值，即可求解出最值．
解答：解：（1）當a=時，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1-）=
（2）f（f（x））=
當0≤x≤a²時，由=x，解得x=0，因為f（0）=0，故x=0不是函數的二階周期點；
當a²＜x≤a時，由=x，解得x=
因為f（）==≠，
故x=是函數的二階周期點；
當a＜x≤a²-a+1時，由=x，解得x=∈（a，a²-a+1），因為f（）=，故得x=不是函數的二階周期點；
當a²-a+1＜x≤1時，由，解得x=∈（a²-a+1，1），因為f（）=≠，故x=是函數的二階周期點；
因此函數有兩個二階周期點，x₁=，x₂=
（3）由（2）得A（，），B（，）
則s（a）=S_△OCB-S_△OCA=×，所以s′（a）=×，
因為a∈（），有a²+a＜1，所以s′（a）=×=＞0（或令g（a）=a³-2a²-2a+2利用導數證明其符號為正亦可）
s（a）在區間[，]上是增函數，
故s（a）在區間[，]上的最小值為s（）=，最大值為s（）=
點評：本題考查求函數的值，新定義的理解，利用導數求函數在閉區間上的最值，第二題解答的關鍵是理解定義，第三題的關鍵是熟練掌握導數工具判斷函數的單調性，本題考查了方程的思想，轉化化歸的思想及符號運算的能力，難度較大，綜合性強，解答時要嚴謹認真方可避免會而作不對現象的出現．