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(2013•江西)設函數f(x)=
1
a
x,0≤x≤a
 
1
1-a
(1-x),
a<x≤1
常數且a∈(0,1).
(1)當a=
1
2
時,求f(f(
1
3
));
(2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點,試確定函數有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2
(3)對于(2)中x1,x2,設A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),記△ABC的面積為s(a),求s(a)在區間[
1
3
1
2
]上的最大值和最小值.
分析:(1)當a=
1
2
時,根據所給的函數解析式直接求值即可得出答案;
(2)根據二階周期點的定義,分段進行求解,找出符號定義的根即為所求;
(3)由題意,先表示出s(a)的表達式,再借助導數工具研究s(a)在區間[
1
3
,
1
2
]上的單調性,確定出最值,即可求解出最值.
解答:解:(1)當a=
1
2
時,求f(
1
3
)=
2
3
,故f(f(
1
3
))=f(
2
3
)=2(1-
2
3
)=
2
3

(2)f(f(x))=
1
a2
x,0≤x≤a2
1
a(1-a)
(a-x),a2<x≤a
1
(1-a)2
(x-a),a<x≤a2-a+1
1
a(1-a)
(1-x),a2-a+1<x≤1

當0≤x≤a2時,由
1
a2
x
=x,解得x=0,因為f(0)=0,故x=0不是函數的二階周期點;
當a2<x≤a時,由
1
(1-a)2
(x-a)
=x,解得x=
a
-a2+a+1
∈(a2,a)

因為f(
a
-a2+a+1
)=
1
a
×
a
-a2+a+1
=
1
-a2+a+1
a
-a2+a+1
,
故x=
a
-a2+a+1
是函數的二階周期點;
當a<x≤a2-a+1時,由
1
(1-a)2
(x-a)
=x,解得x=
1
2-a
∈(a,a2-a+1),因為f(
1
2-a
)=
1
2-a
,故得x=
1
2-a
不是函數的二階周期點;
當a2-a+1<x≤1時,由
1
a(1-a)
(1-x)=x
,解得x=
1
-a2+a+1
∈(a2-a+1,1),因為f(
1
-a2+a+1
)=
a
-a2+a+1
1
-a2+a+1
,故x=
1
-a2+a+1
是函數的二階周期點;
因此函數有兩個二階周期點,x1=
a
-a2+a+1
,x2=
1
-a2+a+1

(3)由(2)得A(
a
-a2+a+1
,
a
-a2+a+1
),B(
1
-a2+a+1
,
1
-a2+a+1

則s(a)=S△OCB-S△OCA=
1
2
×
a2(1-a)
-a2+a+1
,所以s′(a)=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
,
因為a∈(
1
3
1
2
),有a2+a<1,所以s′(a)=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
=
a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]
(-a2+a+1)2
×
1
2
>0(或令g(a)=a3-2a2-2a+2利用導數證明其符號為正亦可)
s(a)在區間[
1
3
1
2
]上是增函數,
故s(a)在區間[
1
3
,
1
2
]上的最小值為s(
1
3
)=
1
33
,最大值為s(
1
2
)=
1
20
點評:本題考查求函數的值,新定義的理解,利用導數求函數在閉區間上的最值,第二題解答的關鍵是理解定義,第三題的關鍵是熟練掌握導數工具判斷函數的單調性,本題考查了方程的思想,轉化化歸的思想及符號運算的能力,難度較大,綜合性強,解答時要嚴謹認真方可避免會而作不對現象的出現.
練習冊系列答案
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2
2

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3
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a≥2
a≥2

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e1
,
e2
為單位向量.且
e1
、
e2
的夾角為
π
3
,若
a
=
e1
+3
e2
b
=2
e1
,則向量
a
b
方向上的射影為
5
2
5
2

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設曲線C的參數方程為
x=t
y=t2
(t為參數),若以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為
ρcos2θ-sinθ=0
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同步練習冊答案
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