Question

【題目】設函數f(x)=(1-x2)ex.

（1）討論f(x)的單調性；

（2）當x0時，f(x)ax+1，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增

(2)[1，+∞）

【解析】

（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

當x∈（-∞，-1-）時，f’(x)<0；當x∈（-1-，-1+）時，f’(x)>0；當x∈（-1-，+∞）時，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調遞減，在（-1-，-1+）單調遞增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

當a≥1時，設函數h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)單調遞減，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以

f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)單調遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1

當0＜x＜1，，，取

則

當

綜上，a的取值范圍[1，+∞）